São Paulo, 5 de março de 2014.
Prezado leitor.
Recentemente decidi propor uma solução para o problema chamado trissecção do ângulo que consiste em dividir um ângulo em três partes iguais. Dividir um ângulo é o mesmo que dividir um arco, o arco tem concretude, o ângulo é como dois gravetos cercando um espaço vazio. Assim que dei os primeiros passos, um novo problema surgiu: não conheço a demonstração do teorema TY1 que se refere à figura FY1.
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| Figura FY1 |
Aprendi em meu curso secundário, na primeira metade do século passado, a aceitar esse teorema como verdadeiro e usá-lo. Agora percebo que ele é muito importante para a trissecção do ângulo e não sei demonstrá-lo. Antes pensava que soubesse. Não sei o nome do autor da demonstração. Vou chama-lo Sr. Y. As iniciais TY significam teorema do Sr. Y. na Figura FY1, a tese afirma que, em relação ao mesmo arco AB, os ângulos AV1B e AV2B são iguais. Uma consequência imediata desse teorema é que o arco não precisa ser comum aos dois ângulos. Podemos imaginardois arcos separados da mesma circunferência. Se esses arcos são iguais os ângulos são iguais.
Considere-se também o teorema TY2 e a Figura FY2, onde (AC) é um diâmetro, OBC é um triângulo isósceles sendo iguais os ângulos OBC e OCB. Ali temos a relação entre os ângulos 180 – AOB = BOC e também 180 – (OBC + OCB) = BOC, portanto AOB = OBC + OCB ou OCB = AOB/2 ou AOB = 2OCB , pois OBC = OCB. Essa relação é muito importante para demonstrar o teorema da trissecção. A figura que esclarece esse caso é FY2abaixo.
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| Figura FY2 |
As figuras e propriedades vistas até agora pertencem ao curso secundário. O leitor pode encontrar essa matéria nos livros escolares dos filhos e netos. O que deve ser enfatizado aqui é que as relações entre arcos e ângulos se referem a ângulos cujos vértices são o centro da circunferência. Vamos chama-los ângulos centrais. Ângulos cujos vértices são pontos da própria circunferência, vamos chama-los ângulos periféricos. Eles estão na relação de 1 para 2. Existe mais duas espécies de ângulos: internos e externos, cujos vértices não são nem centrais nem periféricos. Os vértices são pontos internos e externos da circunferência. Os livros escolares, meus conhecidos, não mencionaram esse assunto. Se existe, desconheço o nome do autor.
A Figura FY3, a seguir, mostra a divisão de 180 graus em três partes iguais pois o triângulo OAC é equilátero, portanto o ãngulo AOC mede 60 graus. Esse ponto está contido nos livros escolares.
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| Figura FY3 |
Capítulo I: Teorema da Trissecção, TT.
Primeira parte, 1TT1.
A Figura 1FT1 abaixo apresenta um processo de divisão do arco A1AA2 em três partes iguais, pois é possível provar que AA2 = 2AA1, então AA1 = A1A2/3. Demonstração: pelos teoremas TY1 e TY2, Figuras FY1, FY2 e FY3, vale a relação entre arcos AA2 = 2AA3, porém, por simetria, AA3 = AA1 então AA2 = 2AA1. Portanto A2A1 = 3AA1. Note que, ao dividir um arco qualquer em três partes iguais o método divide também o complemento desse arco em três partes iguais ou seja, divide a diferença 180 – A1A2.
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| Figura 1FT1 |
Obs: a conclusão acima não resolve o problema. É apenas parte da solução porque o arco A1A2 é desconhecido. Não escolhemos o comprimento daquele arco. Ele foi desenhado com o auxílio de três pontos: OC, que são pontos conhecidos e o ponto P que é arbitrário, portanto, o arco é arbitrário, ou seja, desconhecido. Estamos diante do paradoxo do arco: podemos dividir por três um arco desconhecido. Não podemos dividir por três um arco conhecido. Não é possível encaixar um arco conhecido na posição correta para que o ponto A o divida em três partes iguais Esse paradoxo é parecido com o princípio da incerteza da mecânica quântica. Parecido e não igual porque há uma diferença fundamental entre as duas ciências. A física progride fazendo medições e, a partir delas, tirando conclusões. Nessas medidas ela admite uma margem de erro, que em mecânica clássica e´um acidente de percurso e em mecânica quântica, uma fatalidade. Por isso a física tem natureza analógica. A geometria não acmite margem de erro. Não existe um teorema mais ou menos certo, assim como não existe uma mulher mais ou menos grávida. A geometria é digital. Talvez, por causa dessa diferença, seja possível contornar a barreira do paradoxo.
Teorema da trisssecção, TT.
Segunda parte, 2TT1.
A segunda parte consiste em propor um método para, numa mesma circunferência, delimitar arcos iguais. Para isso vamos considerar a Figura 2FT1, abaixo, onde delimitamos um arco A1A2, de nossa livre escolha. Em seguida traçamos os segmentos de reta cruzados (CA1) e (BA2) determinando o ponto V1, vértice do ângulo A1V1A2.
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| Figura 2FT1 |
Observe o leitor que esta figura é o primeiro passo para o estudo de ângulos internos.A exemplo dos ângulos periféricos, cuja medida não depende da posição do vértice, desde que ele seja um ponto da circunferência, aqui também devemos encontrar o lugar geométrico dos vértices cujos ângulos sejam constantes. Á primeira vista, encontrar esse lugar geométrico parece muito difícil, é, na verdade muito fácil. Para isso desenhamos a circunferência que passa pelos pontos BV1C e assim, qualquer ângulo com vértice sobre essa circunferência, formado por segmentos que passam pelos pontos B e C será igual a BV1C.
Mostro a seguir a figura 2FT2.que é uma cópia da figura 2FT1 onde foi acrecentado o ângulo A3V2A4 igual a A1V1A2 devido ao teorema TY1. Agora temos que provar que os dois arcos A1A2 e A3A4 são iguais.
Demonstração: seja a Figura 2FT2 abaixo, onde colocamos os dois ângulos e os dois arcos:
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| Figura 2FT2 |
Traçamos também os segmentos (A2C) e (A4C), assim procedendo formamos os triângulos V1A2C e V2A4C. nesses triângulos os ângulos BA2C e BA4C são iguais a 90 graus, portanto são iguais entre si. Por outro lado, se os ângulos A1V1A2 e A3V2A4 são iguais por construção os ângulos A2V1C e A4V2C também são iguais porque são complementos dos dois anteriores em relação a 180 graus. Então os triângulos V1A2C e V2A4C são semelhantes e os ângulos V1CA2 e V2CA4 são iguais e os arcos A1A2 e A3A4 são iguais por causa do teorema TY1.
Teorema da trissecção, TT.
Terceira parte 3TT1.
Para desenhar a figura 3FT1 abaixo, o leitor deve desenhar uma circunferência qualquer com o seu diâmetro (BC) e nela escolher e assinalar o arco de extremos X e Y a ser dividido por 3. Feito isso, traçar os segmentos BY e CX obtendo o ponto Z. Agora desenhar o arco pelos pontos BZC e também o arco de raio OC pelos pontos A e O . Os segmentos (OD1) e (AD) são perpendiculares ao diâmetro (BC). O ponto V1, que resolve o problema, é a interseção do arco BZC com a linha (AD1).
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| Figura 3FT1 |
Demonstração: pelo teorema TY1 e Figura FY1, o arco A1A2 a ser dividido é igual ao arco XY escolhido pelo leitor. Pelo teorema TY2 e Figura FT2 o ângulo A2OC é o dobro do ângulo A2BC e o segmento A3A2, paralelo a (BC) torna o arco A3O igual ao arco A2C. Ainda pelo teorema TY2 o arco A1YB é o dobro do arco A2C. portanto os segmentos (OA2) e (CA1) se cruzam no ponto P que pertence ao segmento (AD1) perpendicular a (BC).
A terceira parte fica demonstrada devido à primeira parte do teorema TT.
Antonio Carli
Engenheiro POLI USP
carlisp@terra.com.br
